Question

（2012•商丘二模）已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线m与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线m的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M与另一点Q，记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求S的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），依题意知点C到（0，2）点的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知，能求出动点的C的轨迹方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为(x0，

x02

8

)，则以P点为切点的斜率为

x0

4

，直线PQ的斜率为-

4

x0

，所以直线PQ的方程为y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)，由此能求出轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），
依题意知点C到（0，2）点的距离与到直线y=-2的距离相等，
由抛物线的定义知，动点的C的轨迹方程为x²=8y．
（Ⅱ）设点P的坐标为(x0，

x02

8

)，
则以P点为切点的斜率为

x0

4

，
∴直线PQ的斜率为-

4

x0

，
所以直线PQ的方程为y-

x02

8

=-

4

x0

(x-x0)，
由于该直线经过点A（0，6），所以有6-

x02

8

=4，得x02=16．
∵点P在第一象限，所以x₀=4，点P坐标为（4，2），
直线PQ的方程为x+y-6=0，
联立

x+y-6=0 x2=8y

．解得x=-12或4，
∴点Q坐标为（-12，18），
∴S=

∫

6 -12

(-x+6-

x2

8

)dx
=（-

x2

2

+6x-

x3

24

）|

4 -12

=（-8+24-

8

3

）-（-72-72+72）
=

256

3

．

点评：本题考查轨迹方程的求法和定积分的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．