题目内容

有以下4个结论：①若sinα+cosα=1，那么sinⁿα+cosⁿα=1； ② $数学公式$ 是函数 $数学公式$ 的一条对称轴； ③y=cosx，x∈R在第四象限是增函数； ④函数 $数学公式$ 是偶函数；　其中正确结论的序号是________．

①②④
分析：分别对四个命题进行判断，对于①sinα+cosα=1结合性质|sinα|≤1，|cosα|≤1易得结论；②可以把 $\text{[math]}$ 代入函数验证解得；解③的方法就是取特值，举反例求解； ④函数 $\text{[math]}$ 可以化简为函数y═-cosx，可作出判断．
解答：对于①由sinα+cosα=1知， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，从而有sinⁿα+cosⁿα=1；故①的结论正确；
②验证当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，②的结论正确；
③举反例如：设x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ 均是第四象限的角，且x₁＜x₂，但是cosx₁=cosx₂= $\text{[math]}$ 所以y=cosx，x∈R在第四象限是增函数，此结论错误；
④函数 $\text{[math]}$ =-cosx，显然这是一个偶函数，结论正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查命题的概念，真假命题的判断，综合考查了三角函数的内容；分命题涉及三角函数求值，正余弦函数的性质，如单调性，奇偶性，对称性等内容．这类命题与多种相关知识的综合考查是近年来高考的命题趋向，对相关知识的基本概念的把握要求较高．