题目内容
【题目】(1)解关于x的不等式x2-2mx+m+1>0;
(2)解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据判别式与零大小关系分类讨论,最后写成解集形式,(2)根据a与零大小,以及两根大小分二级讨论.
试题解析:解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ=(-2m)2-4(m+1)=4(m2-m-1).
当m2-m-1>0,即m>或m<
时,由于方程x2-2mx+m+1=0的两根是m±
,所以原不等式的解集是{x|x<m-
,或x>m+
};
当Δ=0,即m=时,
不等式的解集为{x|x∈R,且x≠m};
当Δ<0,即<m<
时,不等式的解集为R.
综上,当m>或m<
时,不等式的解集为{x|x<m-
,或x>m+
};当m=
时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠m};当
<m<
时,不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
①当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·
<0.因为方程(x-2)
=0的两个根分别是2,
,所以当0<a<
时,2<
,则原不等式的解集是
;当a=
时,原不等式的解集是;当a>
时,
<2,则原不等式的解集是
.
②当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,即原不等式的解集是{x|x>2}.
③当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)
>0,由于
<2,故原不等式的解集是
.
综上,当a=0时,不等式解集为(2,+∞);当0<a<时,不等式解集为
;当a=
时,不等式解集为;当a>
时,不等式解集为
;当a<0时,不等式解集为
∪(2,+∞).
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