Question

已知函数的极大值点为x=﹣1．
（1）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为，求a的值；
（3）设A（﹣1，f（﹣1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x₀∈（﹣1，2），使f'（x₀）=k．

Answer 1

解：（1）f'（x₀）=x²+2ax+b，由题设知f'（﹣1）=0
∴b=2a﹣1
韦达定理得另一极值点x=﹣b=1﹣2a，因为x=﹣1为极大值点
故1﹣2a＞﹣1，
∴a＜1
（2）f（x）在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，1﹣2a）递减，在（1﹣2a，+∞）上递增，
故当x∈[﹣1，2]时，分情况如下：
①1﹣2a≥2，即时，f（x）在x∈[﹣1，2]上单调递减
∴，解得，不合条件，舍去
②1﹣2a＜2，即时，
∴
∴，化简得a（2a﹣3）²=0，a=0或，取a=0
综上，故所求的a=0
（3），即证x₀²+2ax₀+b=3a
即证方程x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1）在x∈（﹣1，2）上有实数解
记g（x）=x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1），
g（﹣1）=﹣3a，g（2）=3a+3
①当g（﹣1）g（2）=﹣3a（a+1）＜0，即a＜﹣1或0＜a＜1时，
由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a²+a+1）＞0，g（2）＞0，g（﹣1）＞0，且二次函数g（x）的对称轴x=﹣a∈（0，1）（﹣1，2），由此可知此时方程在（﹣1，2）内有两个解
③a=﹣1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x²+2ax﹣a﹣1=0（a＜1）在x∈（﹣1，2）上有实数解．
即必存在x₀∈（﹣1，2），使f'（x₀）=k．