Question

已知向量

m

=(1，1)，向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

，且

n

•

m

=-1
（1）求向量

n

的坐标；
（2）若向量

n

与向量

i

的夹角为

π

2

，向量

p

=(x2，a2)，

q

=(a2，x)，求关于x的不等式(

p

+

n

)•

q

＜1的解集．

Answer 1

分析：（1）设

n

=（x，y），根据向量的数量积运算公式，列出关于x，y的方程组，并解出x，y即得向量

n

的坐标；
（2））若向量

n

与向量

i

的夹角为

π

2

，，则

n

=（0，-1），根据向量的数量积运算公式，将不等式化为a²x²+（a²-1）x-1＜0，对分类讨论解即可

解答：解：设

n

=（x，y）则

m |= n • m n |cos 3π 4 =1 x+y=-1

解得

x=0 y=-1

或

x=-1 y=0

∴

n

=(0，-1)或(-1，0)
（2）若向量

n

与向量

i

的夹角为

π

2

，，则

n

=（0，-1）
(

p

+

n

)•

q

＜1即为（x²，a²-1）•（a²，x）＜1
a²x²+（a²-1）x-1＜0
（ax+1）（ax-1）＜0
当a=0时，-1＜0，不等式恒成立，即解集为R．
当a≠0时．（ax+1）（ax-1）=0的两根为-

1

a

，

1

a

     当a＞0时，解集为{x|-

1

a

＜x＜

1

a

}
     当a＜0时，解集为 {x|x＞-

1

a

，或x＜

1

a

}

点评：本题考查向量的数量积运算公式及其应用，含参数的二次不等式的解．考查转化，分类讨论的思想方法．对于含参数的二次不等式的解，务必注意二次项系数的正负情况．一方面影响抛物线的开口方向，另一方面影响函数的两个零点的大小．