Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

1

3

．
（1）求2sin2(

π

3

+

B+C

2

)+sin

4π

3

cos(

π

2

+A)的值； 
（2）若a=

3

，求三角形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由降幂公式结合两角和与差的三角函数公式把式子化间为只含有sinA和cosA的式子，代值即可；（2）由余弦定理及基本不等式可求最值．

解答：解：（1）2sin2(

π

3

+

B+C

2

)+sin

4π

3

cos(

π

2

+A)
=1-cos（

2π

3

+B+C）+sin

π

3

sinA
=1-cos

2π

3

cos（B+C）+sin

2π

3

sin（B+C）+sin

π

3

sinA
=1-

1

2

cosA+

3

2

sinA+

3

2

sinA
=

5

6

+

2 6

3

．
（2）∵

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

，∴

2

3

bc=b²+c²-a²≥2bc-a²．
又a=

3

，∴bc≤

9

4

，
当且仅当b=c=

3

2

时，bc=

9

4

，故bc的最大值是

9

4

．
∵cosA=

1

3

，∴sinA=

2 2

3

，S=

1

2

bcsinA≤

3

4

2

．
故三角形面积的最大值是

3 2

4

．

点评：本题为三角形，三角函数以及基本不等式的综合应用，熟记公式是解决问题的关键，属中档题．