Question

预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）近似满足：f（x）=x（x+1）（35-2x）（x∈N^*，且x≤12）
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过192万件；
（2）如果将该商品每月都投放到该地区P万件（不包含积压商品），要保证每月都满足供应，P应至少为多少万件？（积压商品转入下月继续销售）

Answer 1

解：（1）当x=1时，g（1）=f（1）=66（万件）
当x≥2时，g（x）=f（x）-f（x-1）
=x（x+1）（35-2x）-（x-1）x（37-2x）=-6x²+72x．
所以，g（x）=-6（x²-12x）（x∈N^*且x≤12）．
由g（x）＞192，即-6（x²-12x）＞192．
化简得x²-12x+32＜0，解得4＜x＜8．
又x∈N^*，所以x=5，6，7．
答：第5，6，7月份的需求量超过192万件；
（2）要保证每月都满足供应，则对于x∈N^*，x≤12恒成立．
．
所以当x=8时，取最大值171．
所以P≥171．
答：每月至少应投放171万件．
分析：（1）当x=1时直接代入f（x）的解析式求解，当x≥2时，由g（x）=f（x）-f（x-1）列式求解，求出g（x）后直接求解不等式得到满足条件的月份；
（2）由题意可得对于x∈N^*，x≤12恒成立，代入g（x）解析式后利用二次函数求最值，从而得到答案．
点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了一元二次不等式的解法及二次函数最值的求法，是中档题．