Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=α与x=β处有两个不同的极值点，设x在点（-1，f（-1））处的切线为l₁，其斜率为k₁；在点（1，f（1））处的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=

10

3

，求b，c的值；
（2）若α，β∈（-1，1），求k₁k₂可能取到的最大整数值．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入条件，可得②，①②联立，即可得到结论；
（2）设f′（x）=3（x-α）（x-β），则k₁k₂=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β），利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，又∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的两根，∴α+β=-

2b

3

，αβ=

c

3

又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=

4b2

9

-

4c

3

=

10

9

②
由①②得

c=0 b=± 10 2

或

c=6 b=± 82 2

；
（2）设f′（x）=3（x-α）（x-β），则k₁k₂=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β）≤9(

1+α+1-α

2

)2×(

1+β+1-β

2

)2=9
当且仅当α=β=0时，等号成立
∵α≠β，∴k₁k₂≤8
取α=0，β=

1

3

时，k1k2=9×

4

3

×

2

3

=8
即f（x）=x3-

1

2

x2时，k₁k₂=8
∴k₁k₂可能取到的最大整数值为8．

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．