题目内容

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的最高点D的坐标为（
π
8
，2），由最高点D运动到相邻最低点时，函数图形与x的交点的坐标为（
3π
8
，0）；
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量x的值．
（3）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
4
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调减区间．
分析：（1）由三角函数解析式可知函数的平衡位置在x轴，所以最高点的纵坐标为A=2，又由于三角函数最高点与相邻的和x轴的交点为周期的四分之一，即
T
4
=
3π
8
-
π
8
，借此求出周期后可求出ω的值，然后将点（
π
8
，2）代入函数解析式并结合|φ|＜
π
2
可求出φ的值．
（2）由题中x的范围x∈[-
π
4
，
π
4
]可求出（1）中解析式里2x+
π
4
的范围，然后结合正弦函数y=sinx相应区间上的图象可以确定当2x+
π
4
=-
π
4
和2x+
π
4
=
π
2
时函数分别有最小值与最大值，并同时解出相应x的取值即可．
（3）由于函数图象左右平移改变的是横坐标，为此将函数y=f（x）的图象向右平移
π
4
个单位后应用函数解析式中的自变量x-
π
4
，即y=g（x）=2sin[2（x-
π
4
）+
π
4
]=2sin（2x-
π
2
），由于求的是函数g（x）的减区间，故用2x-
π
4
替换正弦函数的减区间即由2kπ+
π
2
≤2x-
π
2
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z解出x后就是所求的减区间．
解答：解：（1）∵由最高点D（
π
8
，2）运动到相邻最低点时，函数图形与x轴的交点为（
3π
8
，0），所以周期的四分之一即
T
4
=
3π
8
-
π
8
=
π
4
，∴T=π，又T=
2π
ω
π，∴ω=2，因为函数经过点D的坐标为（
π
8
，2），代入函数解析式得2sin（2×
π
8
+φ）=2，
所以2×
π
8
+φ=
π
2
+2kπ，k∈Z，即φ=zkπ+
π
4
，k∈Z，又|φ|＜
π
2
，所以φ=
π
4
，
∴函数的解析式为f（x）=2sin（2x+
π
4
）
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
π
4
），当x∈[-
π
4
，
π
4
]，2x+
π
4
∈[-
π
4
，
3π
4
]
所以2x+
π
4
=-
π
4
，即x=-
π
4
时；函数f（x）有最小值-
2

2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
时；函数f（x）有最大值2
（3）由题意g（x）=f（x-
π
4
）=2sin[2（x-
π
4
）+
π
4
]，
∴g（x）=2sin（2x-
π
4
）因为正弦函数y=sinx的减区间是[2kπ+
π
2
，2kπ+
3π
2
]，k∈Z
所以有2kπ+
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，解得kπ+
3π
8
≤x≤kπ+
7π
8
，k∈Z，
故函数g（x）的减区间为[kπ+
3π
8
，kπ+
7π
8
]，k∈Z，
点评：本题主要考查了复合角三角函数的解析式，最值以及图象变换和单调区间的求法等问题，属于复合角三角函数的性质的综合性命题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．
设函数f（x）=
3x-1
x+1
．
（1）已知s=-t+
1
2
（t＞1），求证：f（
t-1
t
）=
s+1
s
；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（
s+1
s
）=
t-1
t
；
（3）设x1=
11
17
，xn+1=f（xn），n=1，2，…．问：数列{
1
xn-1
}是否为等差数列？若是，求出数列{xn}中最大项的值；若不是，请说明理由．
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（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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