Question

如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.

(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；

(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）见解析（2）点D是AB1的中点

【解析】(1)证明：取线段A1B1的中点E，连接OE，C1E，CO，

已知等边三角形ABC的边长为4，AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，

∴四边形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，

又∵CO∩OE＝O，

∴AB⊥平面EOCC1，

又A1B1∥AB，OC1?平面EOCC1，故OC1⊥A1B1，

(2)设OE∩AB1＝D，则点D是AB1的中点，

∴ED∥AA1，ED＝AA1，

又∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，

∴四边形CC1ED是平行四边形，∴CD∥C1E.

∵CD?平面A1B1C1，C1E?平面A1B1C1，∴CD∥平面A1B1C1，

即存在点D使得CD∥平面A1B1C1，点D是AB1的中点．