Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx其中常数a＞0
（1）当a＞2时，求函数f（x）在x∈（0，a）上的极大值和极小值；
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出导数f^′（x）=0时的x的值，再判断是否是极值点，若是即可求出极值；
（2）利用“类对称点”的定义，证明

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立?

f(x)-f(m)

x-m

-f′(m)＞0在（0，+∞）恒成立即可．

解答：解：（1）由函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（常数a＞2）可知：其定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)=2x+

a

x

-(a+2)=

2x2-(a+2)x+a

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

，
令f^′（x）=0，解得x=

a

2

或1，
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
列表如图：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极大值，且f（1）=-a-1；当x=

a

2

时，函数f（x）取得极小值，且f(

a

2

)=alna-a(ln2+1)-

a2

4

．
（2）当a=4时，函数f（x）=x²-6x+4lnx存在“类对称点”，为点P(

2

，2-6

2

+2ln2)．
当a=4时，f（x）=x²-6x+4lnx，∴f^′（x）=2x-6+

4

x

，
设切点P（m，f（m）），则切线的斜率为f^′（m）=2m-6+

4

m

，
则切线的方程为y-f（m）=f^′（m）（x-m），
由

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立?

f(x)-f(m)

x-m

-f′(m)＞0在（0，+∞）恒成立．（*）
其中

f(x)-f(m)

x-m

为过点（x，f（x））、（m，f（m））的割线的斜率，而f^′（m）为过切点P（m，f（m））的切线的斜率．
要使（*）式恒成立，f^′（x）必取得最小值．
∵[f^′（x）]^′=2-

4

x2

=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x2

，令f^″（x）=0，解得x=

2

．
由表格可知：当且仅当x=

2

时，f^′（x）取得极小值，也是最小值．
即当x=

2

时，

f(x)-g(x)

x-x0

＞0在（0，+∞）上恒成立．
故(

2

，2-6

2

+2ln2)是函数f（x）的一个“类对称点”．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法及正确理解“类对称点”的意义是解题的关键．