Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）如果点A在圆x²+y²=c²（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数y=

2

+logmx，（m＞0且m≠1）的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求

F2B

•

F2A

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意判断出∴△AF₁F₂为一直角三角形，利用勾股定理求得|F₂A|利用椭圆的定义求得|AF₁|+|AF₂|=2a，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）利用函数的图象恒过定点，求得a和b，则c可求得，求得椭圆的两焦点，先看AB⊥x轴时，求得A，B的坐标，进而求得

F2A

和

F2B

的坐标，则

F2A

•

F2B

可求得；再看AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，进而表示出x₁+x₂和x₁x₂，

F2A

和

F2B

的坐标进而求得

F2A

•

F2B

的表达式，利用k的范围确定

F2A

•

F2B

的范围．

解答：解：（1）∵点A在圆x²+y²=c²上，
∴△AF₁F₂为一直角三角形，
∵|F1A|=c，|F1F2|=2c，∴|F2A|=

|F1F2|2-|AF1|2

=

3

c
由椭圆的定义知：|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+

3

c=2a
∴e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
（2）∵函数y=

2

+logmx的图象恒过点(1，

2

)
∴a=

2

，b=1，c=1，
点F₁（-1，0），F₂（1，0），
①若AB⊥x轴，则A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，
∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0（*）
∵△=8k²+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程（*）的两个根x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2
=(1+k2)

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)(-

4k2

1+2k2

)+1+k2=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

∵1+2k2≥1，∴0＜

1

1+2k2

≤1，0＜

9

2(1+2k2)

≤

9

2

-1≤

F2A

•

F2B

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

＜

7

2

，
由①②知-1≤

F2A

•

F2B

＜

7

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及了椭圆的基本性质，向量的运算，考查了知识的综合运用和基本的运算能力．