Question

给出如下四个命题：
①若a≥0，b≥0，则

2(a2+b2)

≥a+b；
②若ab＞0，则|a+b|＜|a|+|b|；
③若a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2；
④若a，b，c，∈R，且ab+bc+ca=1，则（a+b+c）²≥3；
其中正确的命题有

①④

．（填序号）

Answer 1

分析：对于①，由于a≥0，b≥0，利用基本不等式可得，a²+b²≥2ab，从而有2（a²+b²）≥a²+b²+2ab，故可判断①；对于②，若ab＞0，则|a+b|=|a|+|b|，结论不成立；对于③，列举反例a=5，b=1；对于④，展开再利用基本不等式即可判断④正确

解答：解：对于①，∵a≥0，b≥0，∴a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab，∴

2(a2+b2)

≥a+b，故①正确；
对于②，若ab＞0，则|a+b|=|a|+|b|，故②错误；
对于③，a=5，b=1时，a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＜2，故③错误；
对于④，（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac）
∵ab+bc+ca=1，∴（a+b+c）²≥3，故④正确
故答案为：①④

点评：本题以命题为载体，考查不等式的性质，考查基本不等式的运用，命题的正确性，需要严格的证明，命题不成立时，列举反例即可．