Question

现给出如下四个命题：
①过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线共有两条；
②若平面α内的两条直线都与平面β平行，则α∥β；
③已知α∩β=l，若α内的直线m垂直于l，则α⊥β；
④已知α⊥β，α∩β=l，若α内的直线m与l不垂直，则m与β也不垂直．
请你写出其中所有真命题的序号：

①④

．

Answer 1

分析：①当直线过原点时，求出一条直线方程．当直线不过原点时，求出另一条直线方程；②若平面α内的两条直线都与平面β平行，则α与β相交或平行；③α∩β=l，若α内的直线m垂直于l，则α与β相交或平行；④由面面垂直的性质定理进行判断．

解答：解：①当直线过原点时，斜率等于

1-0

4-0

=

1

4

，
故直线的方程为y-1=

1

4

（x-4），即 x-4y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m=0，把A（4，1）代入直线的方程得 m=-5，
故求得的直线方程为 x+y-5=0．
综上，满足条件的直线方程共两条件，故①正确；
②若平面α内的两条直线都与平面β平行，
则α与β相交或平行，故②错误；
③α∩β=l，若α内的直线m垂直于l，则α与β相交或平行，故③错误；
④α⊥β，α∩β=l，若α内的直线m与l不垂直，
由面面垂直的性质定理知m与β也不垂直．
故答案为：①④．

点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．