Question

某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益.求

（1）2000年每台电脑的生产成本；

（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.

 

Answer 1

思路解析：第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.

解：（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p=3 200（元）.故2000年每台电脑的生产成本为3 200元.

（2）设1996年～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得

5 000（1-x）⁴=3 200（0＜x＜1）.

令f（x）=5 000（1-x）⁴-3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f（x）	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

观察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x₀.

取区间（0，0.15）的中点x₁=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460.因为f（0.075）·f（0.15）＜0，所以x₀∈（0.075，0.15）.

再取（0.075，0.15）的中点x₂=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈-98.因为f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x₀∈（0.075，0.112 5）.

同理，可得x₀∈（0.009 375，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.

由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.

1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.