Question

某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求：

（1）2000年每台电脑的生产成本；

（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.

Answer 1

解析:这是一个降低成本提高效率的问题.注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%.成本+利润=出厂价；利润=成本×利润率.

解：（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得

p(1+50%)=5 000×(1+20%)×80%，解得p=3 200（元）.

（2）设1996—2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1-x)⁴=3 200(0＜x＜1＝，令f(x)=5 000(1-x)⁴-3 200，作出x、f(x)的对应值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f(x)	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

    观察上表，可知f(0)·f(0.15)＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x₀，

    取区间（0，0.15）的中点x₁=0.075，用计算器可算得

f(0.075)≈460，因为f(0.075)·f(0.15)＜0，所以x₀∈(0.075,0.15)再取（0.075，0.15）的中点x₂=0.112 5，用计算器可算得f(0.112 5)≈-98，

    因为f(0.075)·f(0.112 5)＜0，所以x₀∈(0.075,0.112 5).

    同理，可得x₀∈(0.009 375,0.112 5)，x₀∈(0.103 125,0.112 5)，

x₀∈(0.103 125,0.107 812 5),x₀∈(0.105 468 75,0.107 812 5).

    由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.

答：（1）2000年每台电脑的生产成本为3 200元；

（2）1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.