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已知抛物线Cy=-x2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。
抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m
①必要性:
由已知得,线段AB的方程为y=-x+3(0≤x≤3)
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点,
所以方程组*有两个不同的实数解。
消元得:x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
f(x)=x2-(m+1)x+4,则有
  
②充分性:
当3<x时,
x1=>0

∴方程x2-(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0<x1x2≤3,方程组*有两组不同的实数解。
因此,抛物线y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3<m
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