Question

（2012•淮北一模）在淮北市高三“一模”考试中，某校甲、乙、丙、丁四名同学，在学校年级名次依次为l，2，3，4名，如果在“二模”考试中的前4名依然是这四名同学．
（1）求“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率；
（2）设“二模”考试中排名不变的同学人数为X，求X分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的情况数为：

C

2 4

=6（种），“二模”考试中排名情况总数为：

A

4 4

=24．由此能求出“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率．
（2）“二模”考试中排名不变的同学人数X可能的取值为：4，2，1，0，分别求出P（X=4），P（X=2），P（X=1），P（X=0），由此能求出X分布列和数学期望．

解答：解：（1）“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的情况数为：

C

2 4

=6（种）
“二模”考试中排名情况总数为：

A

4 4

=24
所以“二模”考试中恰好有两名同学排名不变的概率为p=

6

24

=

1

4

（5分）
（2）“二模”考试中排名不变的同学人数X可能的取值为：4，2，1，0，
p(X=4)=

1

24

，
p(X=2)=

1

4

，
p(X=1)=

8

24

=

1

3

，
p(X=0)=1-(

1

24

+

1

4

+

1

3

)=

3

8

，
∴X分布列为：

X	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

X的数学期望EX=0×

3

8

+1×

1

3

+2×

1

4

+4×

1

24

=1（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．