题目内容
【题目】已知抛物线的焦点
与椭圆
的右焦点重合,抛物线
的动弦
过点
,过点
且垂直于弦
的直线交抛物线的准线于点
.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)求的最小值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2
【解析】
(Ⅰ)由椭圆求得右焦点,根据抛物线的焦点求出p的值,再写出抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)①当动弦AB所在的直线斜率不存在时,求得2;②当动弦AB所在的直线斜率存在时,写出AB所在直线方程,与抛物线方程联立求出弦长|AB|;写出FM所在的直线方程,与抛物线方程联立求出弦长|MF|,再求
的最小值,从而得出结论.
(Ⅰ)由椭圆方程得,椭圆的右焦点为
∴抛物线的焦点为,∴
,抛物线的标准方程为
.
(Ⅱ)①当动弦所在直线的斜率不存在时,易得:
,
,
.
②当动弦所在的直线斜率存在时,易知,
的斜率不为0.
设所在直线方程为
,且
,
.
联立方程组:,得
;
,
,
,
所在的直线方程为
,联立方程组:
,得点
,
∴
∴,
综上所述:的最小值为2.
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