Question

现有一个质地均匀的正方体玩具，它的六个面上分别写着1，1，2，2，3，3六个数字，
（1）ξ表示投掷3次上面玩具出现正面朝上的数字为1的次数，求ξ的数学期望Eξ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，设点N（n，0），其中n∈N^*；动点Q由原点O出发，按照投掷的数字沿x轴自左向右移动相应个单位长度（如投出的数字为1就沿x轴向右移动1个单位长度，以此类推）
①当n=5时，求动点Q恰好能移动到N点的概率．
②若动点Q恰好能移动到N点的不同移动方法种数记为a_n，求a₈，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用ξ服从二项分布，或确定ξ的所有取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望；
（2）①记“动点Q恰好能到达N点”为事件A，记“投掷i次，动点Q恰好能到达N点”为事件B_i，i=2、3、4、5，显然B₂、B₃、B₄、B₅两两互斥，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；
②方法一，利用排列知识，分别求出投掷2、3、4、5次时的情况总数，即可求得结论；
方法二，利用从第四项起，每一项都等于其前三项和，可得结论．

解答：解：（1）依题意得ξ服从二项分布，即：ξ～B (3，

1

3

)，所以Eξ=np=3×

1

3

=1…（3分）
另解：依题意得ξ的所有取值为0、1、2、3

p(ξ=0)= C 0 3 ( 1 3 )0( 2 3 )3= 8 27 ，p(ξ=1)= C 1 3 ( 1 3 )1( 2 3 )2= 4 9 p(ξ=2)= C 2 3 ( 1 3 )2( 2 3 )1= 2 9 ，p(ξ=3)= C 3 3 ( 1 3 )3( 2 3 )0= 1 27

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1…（3分）
（2）①记“动点Q恰好能到达N点”为事件A，记“投掷i次，动点Q恰好能到达N点”为事件B_i，i=2、3、4、5，显然B₂、B₃、B₄、B₅两两互斥．
投掷2次时，分别投出2、3和3、2这两种情况，所以P(B2)=2×

1

3

×

1

3

=

2

9

…(4分)
投掷3次时，分别投出1、1、3；1、3、1；3、1、1；2、2、1；2、1、2；1、2、2这6种情况，
所以P(B3)=6×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

2

9

…(5分)
投掷4次时，分别投出1、1、1、2；1、1、2、1；1、2、1、1；2、1、1、1这4种情况，所以P(B4)=4×

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

4

81

…(6分)
投掷5次时，只有投出1、1、1、1、1这一种情况，所以P(B5)=

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

243

…(7分)∴P(A)=P(B2+B3+B4+B5)=P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)=

121

243

…(8分)
（2）②方法一：
投掷3次时，投出1个2、2个3、恰好能到达N点，此时不同移动方法种数有3种，…（9分）
投掷4次时，投出2个1、2个3或1个3、2个2、1个1或4个2恰好都能到达N点，此时不同移动方法种数有

A 4 4

A 2 2 • A 2 2

+

A 4 4

A 2 2

+1=19种…(10分)
投掷5次时，投出1个3、1个2、3个1或3个2、2个1恰好能到达N点，此时不同移动方法种数有

A 5 5

A 3 3

+

A 5 5

A 3 3 • A 2 2

=30种…(11分)
投掷6次时，投出1个3、5个1或2个2、4个1恰好能到达N点，此时不同移动方法种数有

A 6 6

A 5 5

+

A 6 6

A 2 2 • A 4 4

=21种…(12分)
投掷7次时，投出1个2、6个1、恰好能到达N点，此时不同移动方法种数有

A 7 7

A 6 6

=7种…(13分)
投掷8次时，投出8个1恰好能到达N点，此时不同移动方法种数有1种，
所以a₈=3+19+30+21+7+1=81…（14分）
②方法二：依题意得：a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=13，a₆=24，a₇=44，a₈=81…（14分）
注：从第四项起，每一项都等于其前三项和．

点评：本题考查概率知识，考查分布列与数学期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．