题目内容
已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1)
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)若函数 f(x)有最小值为-2,求a的值.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)若函数 f(x)有最小值为-2,求a的值.
分析:(1)由
,得函数的定义域{x|-3<x<1},再由f(x)=loga(1-x)(x+3),能求出函数f(x)的定义域和值域.
(2)由题设知:当0<a<1时,函数有最小值,由此能求a的值.
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(2)由题设知:当0<a<1时,函数有最小值,由此能求a的值.
解答:解:(1)由
,得-3<x<1,
∴函数的定义域{x|-3<x<1},
f(x)=loga(1-x)(x+3),
设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2,
∴t≤4,又t>0,
则0<t≤4.
当a>1时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}.
当0<a<1时,y≥loga4,值域为{y|y≥loga4}.
(2)由题设及(1)知:
当0<a<1时,函数有最小值,
∴loga4=-2,
解得a=
.
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∴函数的定义域{x|-3<x<1},
f(x)=loga(1-x)(x+3),
设t=(1-x)(x+3)=4-(x+1)2,
∴t≤4,又t>0,
则0<t≤4.
当a>1时,y≤loga4,值域为{y|y≤loga4}.
当0<a<1时,y≥loga4,值域为{y|y≥loga4}.
(2)由题设及(1)知:
当0<a<1时,函数有最小值,
∴loga4=-2,
解得a=
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点评:本题考查对数函数的定义域、值域的求法和当函数值最小时对应的参数a,解题时要认真审题,仔细解答.
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