Question

【题目】已知正整数n都可以唯一表示为 ①的形式，其中m为非负整数，（，），.试求①中的数列严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.

Answer 1

【答案】

【解析】

设A和B分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S（M）表示数集M中所有数的和，并将满足①式的正整数记为.

把集合A分成如下两个不交子集和.

我们有.

对任意，令，则是到的双射.

由此得，从而.

又对任意，令，

则g是B到的双射，其中.

因为

所以B中共有个元素，因此

.

又令表示A中最高位数的正整数全体，A中其余的数和零所构成的集合记为，

则.

对任意，令

则是B到的双射，其中.

所以 .

最后对任意，令.

则是到B的双射，其中.

所以

.

于是，

解之得，.

由于A和B中都含有1，2，…，8，因此所求正整数的和等于.