题目内容
6.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是$\sqrt{2}-1$.分析 设椭圆的方程和点P的坐标,把点P的坐标代入椭圆的方程,求出点P的纵坐标的绝对值,Rt△PF1F2 中,利用边角关系,建立a、c 之间的关系,从而求出椭圆的离心率.
解答 解:设椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0),设点P(c,h),则 $\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{h}^{2}}{{b}^{2}}$=1,
h2=b2-$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$,∴|h|=$\frac{{b}^{2}}{a}$,由题意得∠F1PF2=90°,∠PF1F2=45°,
Rt△PF1F2 中,tan45°=1=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{P{F}_{2}}{2c}$=$\frac{|h|}{2c}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2ac}$,
∴a2-c2=2ac,$(\frac{c}{a})^{2}+2×\frac{c}{a}-1=0$,∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$-1.
故答案为:$\sqrt{2}-1$
点评 本题考查椭圆的简单性质,直角三角形中的边角关系的应用.考查计算能力.属于中档题目.
练习册系列答案
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A. | -1 | B. | 1 | C. | -2 | D. | 4 |
1.“x=0”是“(2x-1)x=0”的( )
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
18.设函数f(x)=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx,ω∈(-3,0),若f(x)的最小正周期为π,则f(x)的一个单调递减区间是( )
A. | (-$\frac{π}{2}$,0) | B. | (-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$) | C. | ($\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$) | D. | ($\frac{π}{2}$,π) |
15.$sin\frac{7π}{12}$的值为( )
A. | $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$ | B. | -$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ | C. | $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ | D. | -$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ |