Question

“0＜a≤

1

5

”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数”的

充分不必要

条件．

Answer 1

分析：由于a值不确定，此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠0时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减，求出函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件再进行判断即可．

解答：解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=-2x+2为递减函数，
（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，故函数对称轴x=

1-a

a

≥ 4，
解得0＜a≤

1

5

；
当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上不可能为减函数故舍去．
故函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上的减函数的充要条件为0≤a≤

1

5

．
由于0＜a≤

1

5

⇒0≤a≤

1

5

，反之不成立，
故答案是：充分不必要．

点评：此题主要考查二次函数的性质、函数单调性和对称轴的求解、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．