Question

4．在△ABC中，BC=$\sqrt{5}$，AC=3，sinC=2sinA．
（1）求AB的值；
（2）已知D为AB的中点，求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理即可求值得解．
（2）根据余弦定理可求cosA，由D为AB边的中点，可求AD，根据余弦定理即可求得CD的值．

解答 （本题满分13分）
解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$，
于是$AB=sinC\frac{BC}{sinA}=2BC=2\sqrt{5}$．…（6分）
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得$cosA=\frac{{A{B^2}+A{C^2}-B{C^2}}}{2AB•AC}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∵D为AB边的中点，
∴AD=$\sqrt{5}$，
在△ACD中，由余弦定理有：$CD=\sqrt{A{C^2}+A{D^2}-2AC•AD}=\sqrt{{3^2}+{{（\sqrt{5}）}^2}-2•3•\sqrt{5}•\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}=\sqrt{2}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．