Question

已知：函数．

(I)证明：f(x)与f^－1(x)的交点必在在直线y＝x上．

(II)是否存在一对反函数图象的交点不一定在直线y＝x上，若存在，请举例说明；若不存，请说明理由．

(III)研究(I)和(II)，能否得出一般性的结论，并进行证明．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(I)y＝2x＋1与其反函数的交点坐标为(－1，－1)，∴f(x)与f－1(x)的交点必在在直线y＝x上． 　　(II)与其反函数y＝x2－1，(x≤0)的交点坐标为()，(－1，0)，(0，－1)，∴原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上． 　　(III)研究(I)和(II)能得出：如果函数f(x)是增函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y＝x上； 　　如果函数f(x)是减函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上． 　　证明：设点(a，b)是f(x)的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点(b，a)也是f(x)的图象与其反函数图象的交点，且有b＝f(a)，a＝f(b) 　　若a＝b时，交点显然在直线y＝x上． 　　若a＜b，且f(x)是增函数时，有f(b)＜f(a)，从而有b＜a，矛盾；若b＜a且f(x)是增函数时，有f(a)＜f(b)，从而有a＜b，矛盾． 　　若a＜b，且f(x)是减函数，有f(b)＜f(a)，从而a＜b成立，此时交点不在直线y＝x上；同理，b＜a且f(x)是减函数时，交点也不在直线y＝x上． 　　综上所述，如果函数f(x)是增函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y＝x上； 　　如果函数f(x)是减函数，并且f(x)的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y＝x上．

提示：

分析：问题(I)易于解答，而问题(II)解答必须认真思考f(x)的性质，从性质的差异去寻求特例．问题(III)的证明着眼于函数单调性的差异解答． 　　说明：试题紧扣江苏新考纲，突显解决问题的探索性和研究性．试题难度较大．