Question

已知：函数
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出函数的定义域，进而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；
（II）若f（x）＞0恒成立，则f（x）的最小值大于0，根据（I）中结论，求出函数的最小值，代入构造关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围
解答：解：（I）∵函数的定义域为（0，+∞）
∴==
∵a＞0，令f′（x）=0，则x=-a（舍去），或x=2a
∵当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，∵当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，
∴（0，2a）为函数的单调递减区间，
（2a，+∞）为函数的单调递增区间；
（II）由（I）得当x=2a时，函数取最小值4a²-2a²ln（2a）
若f（x）＞0恒成立
则4a²-2a²ln（2a）=2a²•[2-ln（2a）]＞0
即2-ln（2a）＞0
解得a＜
又∵a＞0，
∴a的取值范围为（0，）
点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的单调区间和最值，其中熟练掌握导函数符号与原函数的单调性之间的关系，是解答的关键．