Question

19．已知点A，B，P（2，4）都在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+b上，且直线PA，PB的倾斜角互补．
（1）证明：直线AB的斜率为定值；
（2）当直线AB在y轴上截距大于零时，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．
（2）设出AB直线方程，与抛物线方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，使用基本不等式求最大值．

解答 （1）证明：P（2，4）都在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+b，则b=6．
设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-$\frac{1}{2}$x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根x_A及2，
由韦达定理得：2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．
∴y_A=k（x_A-2）+4=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．
由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）
∴k_AB=2即直线AB的斜率为定值．
（2）解：∵AB的方程为y=2x+m，m＞0．代入方程y=-$\frac{1}{2}$x²+6消去y得$\frac{1}{2}$x²+2x+m-6=0．
|AB|=2$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{4-2（m-6）}$=2$\sqrt{5（16-2m）}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5（16-2m）}$•$\frac{m}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（16-2m）•m•m}$≤$\sqrt{（\frac{16-2m+m+m}{3}）^{3}}$=$\frac{64\sqrt{3}}{9}$．
此时方程为y=2x+$\frac{16}{3}$．

点评 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．