Question

4．已知函数f（x）=lnx+ln（2-x）+x．
（1）计算f（x）在（1，1）处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求得函数的导数，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间，注意定义域．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+ln（2-x）+x的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+1，
则f（x）在（1，1）处的切线斜率为k=1-1+1=1，
即有f（x）在（1，1）处的切线方程为y-1=x-1，
即为y=x；
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+1=$\frac{2-{x}^{2}}{x（2-x）}$，（0＜x＜2），
f′（x）＞0，可得0＜x＜$\sqrt{2}$；
f′（x）＜0，可得$\sqrt{2}$＜x＜2．
可得f（x）的增区间为（0，$\sqrt{2}$），减区间为（$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查导数的几何意义和不等式的解法，注意函数的定义域，属于中档题和易错题．