题目内容

15．如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道（阴影部分）组成，已知人行道的宽分别为4m和10m
（1）若休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，则要使公园占地面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？
（2）若公园的面积为4000平方米，要使休闲区A1B1C1D1的面积最大，公园的长和宽应如何设计？

分析 （1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出C1B1=$\frac{4000}{x}$米，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式，利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．
（2）设AB=x，则BC=$\frac{4000}{x}$米，A1B1=x-20米，C1B1=$\frac{4000}{x}$-8米，可得休闲区A1B1C1D1的面积S关于x的函数S（x）的解析式，利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．

解答 解：（1）设A1B1=x米，知C1B1=$\frac{4000}{x}$米
∴S=（x+20）（$\frac{4000}{x}$+8）=4160+8x+$\frac{80000}{x}$≥4160+2$\sqrt{8x•\frac{80000}{x}}$=5760
当且仅当8x=$\frac{80000}{x}$，即x=100时取等号
∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．
（2）设AB=x，则BC=$\frac{4000}{x}$米，∴A1B1=x-20米，C1B1=$\frac{4000}{x}$-8米
∴S=（x-20）（$\frac{4000}{x}$-8）=4160-8x-$\frac{80000}{x}$≤4160+2$\sqrt{8x•\frac{80000}{x}}$=5760
当且仅当8x=$\frac{80000}{x}$，即x=100时取等号
∴要使休闲区A1B1C1D1的面积最大，公园的长为100米、宽为40米．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，注意使用条件：一正二定三相等．

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