题目内容
【题目】设函数,
.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】试题分析;(1)根据,对
进行求导,即可求出
的单调性;(2)令
,对
求导后,对
进行分类讨论,求出函数
的单调性,然后求出
,即可求出
的取值范围.
试题解析:(1)当时,
,
,
由于,故当
时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增.
(2)令
,
则,
∵当时,
①若,则
时,
,
,
此时不恒成立;
②若,由
时,
恒成立,
则,则
,
令,得
或
,
(ⅰ)若,则
,
当时,
,
单调递减,
而,∴当
时,
,此时
不恒成立;
(ⅱ)若,则
,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
∴,此时
恒成立;
(ⅲ)若,当
时,
,
单调递增,
有,此时
恒成立,
综上所述, .
点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用,在研究函数最值的应用;对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

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