Question

（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.

(1)求a的值；

(2)记g(x)＝bx2－1，若方程f(x)＝g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.

Answer 1

解析：(1)f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，因为f(x)在[0,1]上递增，在[1,2]上递减，所以x＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0，

即4×13－12×12＋2a×1＝0.

解得a＝4，经检验满足题意，所以a＝4.

(2)由f(x)＝g(x)可得

x2(x2－4x＋4－b)＝0，

由题意知此方程有三个不相等的实数根，

此时x＝0为方程的一实数根，则方程x2－4x＋4－b＝0应有两个不相等的非零实根，

所以Δ>0，且4－b≠0，

即(－4)2－4(4－b)>0且b≠4，

解得b>0且b≠4，

所以所求b的取值范围是(0,4)∪(4，＋∞).