Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用五点作图法做出f（x）的图象
（3）说明y=f（x）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到？
（4）求函数的单调递减区间
（5）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接求出函数的周期T，A以及ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式；
（2）根据函数的解析式，通过列表，描点，连线画出函数的图象．
（3）利用图象平移的规律：左加右减，加减的单位是自变量x的变化的单位；图象伸缩变换的规律：横坐标变为坐标系x乘的数的倒数；纵坐标变为三角函数前面乘的数倍．
（4）找出正弦函数的一个递减区间，令2x+

π

6

属于这个区间列出关于x的不等式，再由x的范围求出不等式的解集，即为函数的单调递减区间．
（5）根据x的范围，求出2x+

π

6

的范围，然后求出函数值的范围．

解答：解：（1）由题意可知，T=

π

2

×2=π，A=2，ω=

2π

T

=2，
∵2sin(2•

2π

3

+φ) =-2，∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

6

所以函数：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
列表


（3）将由y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）
再横坐标缩小到原来的

1

2

倍，纵坐标不变得到函数y=sin（2x+

π

6

）
再横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到y=2sin（2x+

π

6

）．
（4）∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ-

3π

2

，2kπ-

π

2

]，
∴2kπ-

3π

2

≤2x+

π

6

≤-

π

2

+2kπ，
解得kπ-

5π

6

≤x≤kπ-

π

3

，k∈Z；
（5）当x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，2sin（2x+

π

6

）∈[-1，2]，所以f（x）的值域为：[-1，2]．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，五点法作图，函数的单调性的应用，函数图象的平移伸缩变换，函数的最值，可以说一题概括三角函数的基本知识的灵活应用，考查计算能力．