题目内容
【题目】已知函数f(x)= sin(2x+
)﹣cos2x+
.
(Ⅰ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,f(A)= ,a=3,求△ABC面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)f(x)= (
sin2x+
cos2x)﹣
cos2x=
(
sin2x+
cos2x)=
sin(2x+
),
由2kπ﹣ ≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z得:kπ﹣
≤x≤kπ+
,k∈Z,
∵x∈[0,π],
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[
,π];
(Ⅱ)由f(A)= sin(2A+
)=
得:sin(2A+
)=
,
∵0<A<π,
∴ <2A+
<
,
∴2A+ =
,
∴A= ,
由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc,
∴bc≤9(当且仅当b=c时等号成立),
∴S= bcsinA≤
×9×
=
,
∴△ABC面积的最大值为
【解析】(Ⅰ)函数f(x)解析式利用两角和与差的正弦函数公式,二倍角的余弦函数公式化简,整理为一个角的正弦函数,利用正弦函数的单调性确定出f(x)在[0,π]上的单调递增区间即可;(Ⅱ)由f(A)的值,确定出A的度数,利用余弦定理求出bc的最大值,进而求出三角形ABC面积的最大值即可.
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和正弦定理的定义,掌握正弦函数的单调性:在上是增函数;在
上是减函数;正弦定理:
即可以解答此题.
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