题目内容
【题目】已知椭圆C: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点.
① 求证:直线MN的斜率为定值;
② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点).
【答案】(1)(2)① ②
【解析】试题分析:(1)先求双曲线离心率得椭圆离心率,再将点坐标代入椭圆方程,解方程组得,(2)①先根据点斜式得直线方程,再与椭圆方程联立解得坐标,根据直线与圆相切,得斜率相反,同理可得最后根据斜率公式求斜率,②设直线MN方程,根据原点到直线距离得高,与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长,最后代入三角形面积公式,利用基本不等式求最值.
试题解析:(1)可得,设椭圆的半焦距为,所以,
因为C过点,所以,又,解得,
所以椭圆方程为.
(2)① 显然两直线的斜率存在,设为, ,
由于直线与圆相切,则有,
直线的方程为, 联立方程组
消去,得,
因为为直线与椭圆的交点,所以,
同理,当与椭圆相交时, ,
所以,而,
所以直线的斜率.
② 设直线的方程为,联立方程组消去得,
所以,
原点到直线的距离,
面积为,
当且仅当时取得等号.经检验,存在(),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点M,N.
所以面积的最大值为.
【题目】科学研究表明:人类对声音有不的感觉,这与声音的强度单位:瓦平方米有关在实际测量时,常用单位:分贝来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:是常数,其中瓦平方米如风吹落叶沙沙声的强度瓦平方米,它的强弱等级分贝.
已知生活中几种声音的强度如表:
声音来源
声音大小 | 风吹落叶沙沙声 | 轻声耳语 | 很嘈杂的马路 |
强度瓦平方米 | |||
强弱等级分贝 | 10 | m | 90 |
求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.