题目内容

【题目】已知椭圆C 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点

1)求椭圆C的方程;

2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于MN两点.

求证:直线MN的斜率为定值;

MON面积的最大值(其中O为坐标原点).

【答案】12

【解析】试题分析:(1)先求双曲线离心率得椭圆离心率,再将点坐标代入椭圆方程,解方程组得,(2①先根据点斜式得直线方程,再与椭圆方程联立解得坐标,根据直线与圆相切,得斜率相反,同理可得最后根据斜率公式求斜率,②设直线MN方程,根据原点到直线距离得高,与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长,最后代入三角形面积公式,利用基本不等式求最值.

试题解析:1)可得,设椭圆的半焦距为,所以

因为C过点,所以,又,解得

所以椭圆方程为.             

2 显然两直线的斜率存在,设为

由于直线与圆相切,则有

直线的方程为 联立方程组

消去,得,  

因为为直线与椭圆的交点,所以

同理,当与椭圆相交时,

所以,而

所以直线的斜率.       

设直线的方程为,联立方程组消去

所以

原点到直线的距离,        

面积为

当且仅当时取得等号.经检验,存在),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点MN

所以面积的最大值为

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