Question

已知y=f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断y=f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），解之可得f（1）=0；
（2）令a=b=-1，代入可得f（-1）=0，再令a=x，b=-1，代入可得f（-x）=x f（-1）-f（x）=-f（x），由奇函数的定义可得．

解答：解：（1）由题意令a=b=1，可得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）y=f（x）是奇函数，下面证明：
令a=b=-1，可得f（1）=-f（-1）-f（-1），所以f（-1）=0；
令a=x，b=-1，所以f（-x）=x f（-1）-f（x）=-f（x）；
∴y=f（x）是奇函数．

点评：本题考查抽象函数奇偶性的判断，准确赋值是解决问题的关键，属中档题．