题目内容
已知函数f（x）=2x+| 5 | x |
（1）|PM|•|PN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（2）设点O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
分析：（1）根据条件，设出P的坐标，求出|PM|•|PN|，判断是否为定值即可．
（2）根据条件将四边形OMPN分解为两个三角形OPM和OPN，分别表示出两个三角形的面积，利用基本不等式的性质进行求最值．
（2）根据条件将四边形OMPN分解为两个三角形OPM和OPN，分别表示出两个三角形的面积，利用基本不等式的性质进行求最值．
解答：解：（1）设P的坐标为（x0，y0），则有y0=2x0+
，
由点到直线的距离公式得|PM|=
=
=
，|PN|=x0，
∴|PM|：|PN|=
，
即|PM|•|PN|为定值
．
（2）由题意可设M（t，2t），知N（0，y0）．
由PM与直线y=2x垂直，知K PM=-
，
即
=-
，
又y0=2x0+
，
解得t=x0+
，
故|OM|=
(x0+
)，
∴S△OPM=
•
•
(x0+
)=
(1+
)，S△OPN=
•x0•(2x0+
)=
+
．
∴SOMPN=S△OPM+S△OPN=
(1+
)+
+
=
+
+5≥2
+5，．
当且仅当x0=5
时等号成立，故四边形面积有最小值2
+5．
| 5 |
| x0 |
由点到直线的距离公式得|PM|=
| |y0-2x0| | ||
|
|
| ||
|
| ||
| x0 |
∴|PM|：|PN|=
| 5 |
即|PM|•|PN|为定值
| 5 |
（2）由题意可设M（t，2t），知N（0，y0）．
由PM与直线y=2x垂直，知K PM=-
| 1 |
| 2 |
即
| y0-2t |
| x0-t |
| 1 |
| 2 |
又y0=2x0+
| 5 |
| x0 |
解得t=x0+
| 2 |
| x0 |
故|OM|=
| 5 |
| 2 |
| x0 |
∴S△OPM=
| 1 |
| 2 |
| ||
| x0 |
| 5 |
| 2 |
| x0 |
| 5 |
| 2 |
| 2 | ||
|
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| x0 |
| x | 2 0 |
| 5 |
| 2 |
∴SOMPN=S△OPM+S△OPN=
| 5 |
| 2 |
| 2 | ||
|
| x | 2 0 |
| 5 |
| 2 |
| x | 2 0 |
| 5 | ||
|
| 5 |
当且仅当x0=5
| 1 |
| 4 |
| 5 |
点评：本题主要考查曲线和方程，以及点到直线的距离公式的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．
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