Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；   
（3）求证：

n

i=1

1

aibi

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）仿写等式，两式相减得到 a_nb_n⁼n•2^（n-1）利用等比数列的通项公式求出bn=2^（n-1）代入求出a_n=n
（2）由 a_nb_n⁼n•2^（n-1） 得到 a_n=

n•2n-1

bn

，an-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，an-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，利用等差中项的定义得到
等式，判断出数列{b_n}不是等比数列．
（3）求出

1

aibi

=

1

i•2i-1

，通过放缩法得到要证的不等式．

解答：解：（1）因为a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
两式相减 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
因为{b_n} 数列是首项为1，公比为2的等比数列则bn=2^（n-1）
所以a_n=n （2）{an}是等差数列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^（n-1）₌n•2^（n-1）
所以 a_n=

n•2n-1

bn

，
an-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，
an-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，
{an}是等差数列 2a_（n-1）=a_（n-2）+a_n 即）2

(n-1)•2n-2

bn-1

= 

(n-2)•2n-3

bn-2

+

n•2n-1

bn

4(n-1)

bn-1

=

(n-2)

bn-2

+

4n

bn

若{bn}是等比数列，
则b_（n-1） ²=b_（n-2）•b_n 两式显然不合
所以数列{b_n}不是等比数列
（3）aibi=i•2^（i-1） 所以

1

aibi

=

1

i•2i-1

所以

n

i=1

1

aibi

=

1

1×20

+

1

2×2

+

1

3×23

+…+

1

n•2n-1

＜1+

1

4

+

1

23

+…+

1

2n-1

=1+

1 4 - 1 2n

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n-1

＜

3

2

得证．

点评：求数列的前n项和关键是求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．