题目内容
已知函数.
⑴求函数在处的切线方程;
⑵当时,求证:;
⑶若,且对任意恒成立,求k的最大值.
⑴求函数在处的切线方程;
⑵当时,求证:;
⑶若,且对任意恒成立,求k的最大值.
⑴;⑵详见解析;⑶的最大值是3.
试题分析:⑴曲线在点处的切线方程为:,所以求出导数及切点即得切线方程;⑵不失一般性,左右两边作差得:,接下来用重要不等式比较真数的大小即可.⑶首先分离参数.由于,所以可变为.令,则,注意到,则取最大整数即可.接下来就利用导数求则的最小值.
试题解析:⑴
∴故切线斜率
∴所切线方程:. .3分
⑵由题可知:
∵
∴
∴. 8分
⑶令
令在上单调递增.
∵
∴所以存在唯一零点,即.
当时,;
当时,;
∴在时单调递减;在时,单调递增;
∴
由题意,又因为,所以的最大值是3. 14分
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