题目内容
（2009•河西区二模）已知数列{an}的通项an为函数f（x）=x2+（n+4）x-2（n∈N*）在[0，1]上的最小值和最大值的和，又数列{bn}满足：nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为
的等比数列的前n项和
（Ⅰ）求an的表达式；
（Ⅱ）若cn=-anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论．
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（Ⅰ）求an的表达式；
（Ⅱ）若cn=-anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论．
分析：（I）利用二次函数求出最大值和最小值，从而得出数列{an}的通项；
（II）利用等比数列的通项公式bn=
分类讨论的思想方法即可得出．
（II）利用等比数列的通项公式bn=
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解答：解：（I）∵f（x）=x2+（n+4）x-2的对称轴为x=-
，又当n∈N*时，-
＜0，
故f（x）=x2+（n+4）x-2在[0，1]上是增函数
∴an=f（0）+f（1）=-2+1+（n+4）-2=n+1，即an=n+1
（Ⅱ）∵Sn=1+
+(
)2+…+(
)n-1
由nb1+(n-1)b2+(n-2)b3+…+2bn-1+bn=(
)n-1+(
)n-2+…+
+1 ①
得(n-1)b1+(n-2)b2+…+2bn-2+bn-1=(
)n-2+(
)n-3+…+
+1 ②
①-②得b1+b2+…+bn=(
)n-1即Tn=b1+b2+…+bn=(
)n-1
当n=1时，b1=T1=1，当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=(
)n-1-(
)n-2=-
•(
)n-2
∴bn=
于是Cn=-anbn=
设存在正整数k，使对n∈N*，Cn≤Ck恒成立．
当n=1时，C2-C1=
＞0，即C2＞C1
当n≥2时，Cn+1-Cn=
•(
)n-1(n+2)-
•(
)n-2(n+1)=
•(
)n-2[
(n+2)-(n+1)]=(
)n-2•
．
∴当n＜7时，Cn+1＞Cn，当n=7时，C8=C7，当n＞7时，Cn+1＜Cn
∴存在正整数k=7或8，对于任意正整数n都有Cn≤Ck成立
| n+4 |
| 2 |
| n+4 |
| 2 |
故f（x）=x2+（n+4）x-2在[0，1]上是增函数
∴an=f（0）+f（1）=-2+1+（n+4）-2=n+1，即an=n+1
（Ⅱ）∵Sn=1+
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由nb1+(n-1)b2+(n-2)b3+…+2bn-1+bn=(
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得(n-1)b1+(n-2)b2+…+2bn-2+bn-1=(
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①-②得b1+b2+…+bn=(
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当n=1时，b1=T1=1，当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=(
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∴bn=
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于是Cn=-anbn=
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设存在正整数k，使对n∈N*，Cn≤Ck恒成立．
当n=1时，C2-C1=
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当n≥2时，Cn+1-Cn=
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| 7-n |
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∴当n＜7时，Cn+1＞Cn，当n=7时，C8=C7，当n＞7时，Cn+1＜Cn
∴存在正整数k=7或8，对于任意正整数n都有Cn≤Ck成立
点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法，分类讨论的思想方法是解题的关键．
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