Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₁的极坐标方程为ρ（3cosθ+4sinθ）=m，曲线C₂的参数方程为

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数）．
（1）若m=12，试确定C₁与C₂公共点的个数；
（2）已知曲线C₃的参数方程为

x=t y=-3t2

（t为参数），若直线C₁与C₃相切，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求出直线C₁的直角坐标方程、曲线C₂的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离小于半径，从而得到直线和圆相交，从而得到C₁与C₂公共点的个数．
（2）根据导数的几何意义求出 a=

1

8

，从而求得b的值，进而求得m=3a+4b 的值．

解答：解：（1）若m=12，直线C₁的极坐标方程ρ（3cosθ+4sinθ）=m化为直角坐标方程为 3x+4y-12=0，
曲线C₂的参数方程为

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数），化为直角坐标方程为 （x+1）²+（y-2）²=4，
圆心（-1，2）到直线C₁的距离等于

|-1×3+4×2-12|

9+16

=

7

5

，小于半径，故直线和圆相交，故C₁与C₂公共点的个数为2．
（2）已知曲线C₃的参数方程为

x=t y=-3t2

（t为参数），化为直角坐标方程为 y=-3x²，∴y^′=-6x，
设直线C₁与C₃相切时的切点M（a，b），故切线的斜率等于-6a=-

3

4

，解得 a=

1

8

，
∴b=-3a²=-

3

64

，
∴m=3a+4b=

3

16

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，导数的几何意义，属于基础题．