题目内容
已知tan110°=a，求tan50°时，同学甲利用两角差的正切公式求得：tan50°=a-
| ||
1+
|
| 1-a2 |
| 2a |
分析：先根据正切函数的单调性判断a的大致范围，再由tan50°=
=
得到关系a的等式并且一定有解，再构成函数后根据函数零点的判定定理缩小范围得到答案．
a-
| ||
1+
|
| 1-a2 |
| 2a |
解答：解：∵tan105°＜tan110°=a＜tam120°，
tan105°=tan（60°+45°）=
=-2-
，tan120°=-
∴-4＜-2-
＜a＜-
＜-1
∵tan50°=
=
∴
a3+3a2-3
a-1=0有根
令f（a）=
a3+3a2-3
a-1，
∵f（-4）f（-3）=（-64
+48+12
-1）（-18
-26）＞0
f（-3）f（-2）=（-18
-26）（-2
+11）＜0
∴函数f（a）=
a3+3a2-3
a-1的零点一定在（-3，-2）上，
故
a3+3a2-3
a-1=0的根一定在（-3，-2）上
即a是介于在（-3，-2）上
故答案为：-3和-2
tan105°=tan（60°+45°）=
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1-
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| 3 |
| 3 |
∴-4＜-2-
| 3 |
| 3 |
∵tan50°=
a-
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1+
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| 1-a2 |
| 2a |
∴
| 3 |
| 3 |
令f（a）=
| 3 |
| 3 |
∵f（-4）f（-3）=（-64
| 3 |
| 3 |
| 3 |
f（-3）f（-2）=（-18
| 3 |
| 3 |
∴函数f（a）=
| 3 |
| 3 |
故
| 3 |
| 3 |
即a是介于在（-3，-2）上
故答案为：-3和-2
点评：本题主要考查正切函数的单调性与函数零点的判定定理．是一个综合题．考查学生的综合素养和基本运算能力．
练习册系列答案
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已知tan110°=a，求tan50°时，同学甲利用两角差的正切公式求得：tan50°=
；同学乙利用二倍角公式及诱导公式得tan50°=
；根据上述信息可估算a的范围是（ ）
a-
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1+
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| 1-a2 |
| 2a |
A、-∞，-2-
| ||
B、-2-
| ||
| C、（-3，-2） | ||
D、(-2，-
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,乙得到的结果是
,对此，你的判断是( )