Question

22．设函数.

（Ⅰ）证明,其中k为整数；

（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；

（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明.

Answer 1

22. （Ⅰ）证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有

f(x+2kπ)－f(x)=(x+2kπ)sin(x+2kπ)－x sin x

           =(x+2kπ)sin x－x sin x

           =2kπsin x

（Ⅱ）证明：函数f(x)在定义域R上可导，

     f’(x)= sin x + x cos x.

令f’(x)=0，得sin x + x cos x=0

    显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=－tanx. 如图所示，此方程一定有解，f(x)的极值点x₀一定满足tan x₀=－x₀

 由sin²x=

  =，得

 sin²x₀=

因此，

[f(x₀)]²=x₀²sin²x²=

（Ⅲ）证明：设x₀>0是f’(x)=0的任意正实根，即x₀=－tanx₀，则存在一个非负整数k，使       x₀∈（+kπ, π+kπ），

即x₀在第二或第四象限内，由①式，f’(x)=cos x(tan x+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：

x		(+kπ, x0)	x0	(x0, π+kπ)
f’(x)的符号	k为奇数	－	0	+
	k为偶数	+	0	－

所以满足f’(x)=0的正根x₀都为f(x)的极值点

由题设条件，a₁,a₂,…a_n,…为方程x=－tan x 的全部正实根且满足

a₁2<…a_n<…,

那么对于n=1,2,…,

    a_n+1－a_n=－(tan a _n+1－ tan a_n)

          = －(1+tan a_n+1·tan a_n)tan(a_n+1－a_n)            ②

由于+(n－1)π＜a_n＜π+(n－1)π, +nπ＜a_n+1＜π+nπ

，则

            < a_n+1 －a_n<

由于tan a_n+1·tan a_n>0，由②式知tan (a _n+1－a_n)<0.由此可知a_n+1－a_n必在第二象限，

即  a_n+1－a_n<π

综上，< a_n+1－a_n<π.