题目内容
设函数
．
（I）证明：
是函数
在区间
上递增的充分而不必要的条件；
（II）若
时，满足
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】
（I）见解析（II）
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用
是函数
在区间
上递增的充分而不必要的条件，分为两步来证明先证明充分性，再证明不必要性。
（2）求解导数分析导数为零的点，然后借助于导数为正或者为负数时的解集，得到单调增减区间，进而判定函数的极值，得到函数的最值，进而求解参数的范围。
解：（1）对函数求导，得 
， …………2分
先证充分性：若，
，
，
函数在区间上递增.
……………4分
再说明非必要性:
在区间
上递增，
∴
对1<x<2恒成立
由
得，
，而
，
所以
，即
…………5分
所以，是函数在区间上递增的充分而不必要的条件
……7分
（2） 
，令
，得
显然，
时不符合题意. …………8分
当
时，函数
在（
）上递增，在
上递减，
若
时，
恒成立，需
=
6
，得
.
…………………10分
当
时，函数在（
）上递增，在
上递减，
此时，，如满足恒成立，
需
得
…………12分
故若时，满足恒成立，实数
------------------------------14分
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