题目内容

已知函数,其中

(Ⅰ) 当,求函数的单调递增区间;

(Ⅱ) 若时,函数有极值,求函数图象的对称中心的坐标;

(Ⅲ)设函数 (是自然对数的底数),是否存在a使上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

(1)单调增区间是;(2)对称中心坐标为;(3)符合条件的满足.

【解析】

试题分析:本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,先将代入,得到的表达式,对其求导,令大于0,解不等式,得出增区间;第二问,由于当时函数有极值,所以的根,代入得出的值,代入中得到具体解析式,可以看出的对称中心,而图像是经过平移得到的,所以经过平移,得到对称中心坐标,假设存在,试试看能不能求出来,对求导,得到的两个根分别为1和,通过讨论两根的大小,出现3种情况在每一种情况下,讨论单调性,最后总结出符合题意的的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)当

,即

所以

单调增区间是.

(Ⅱ)当时,函数有极值,

所以,且,即

所以

所以的图像可由的图像向下平移16个单位长度得到,

的图像关于对称,

所以函数的图像的对称中心坐标为.

(Ⅲ)假设存在使上为减函数,

(1)当时,在定义域上为增函数,不合题意;

(2)当时,由得:上为增函数,则在上也为增函数,也不合题意;

(3)当时,由得:,若无解,则

因为上为减函数,则上为减函数,上为减函数,且,则.由,得.

综上所述,符合条件的满足.

考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.函数图像的平移.

 

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