题目内容
已知函数,,其中且.
(Ⅰ) 当,求函数的单调递增区间;
(Ⅱ) 若时,函数有极值,求函数图象的对称中心的坐标;
(Ⅲ)设函数 (是自然对数的底数),是否存在a使在上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)单调增区间是;(2)对称中心坐标为;(3)符合条件的满足.
【解析】
试题分析:本题综合考查函数与导数及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问,先将代入,得到的表达式,对其求导,令大于0,解不等式,得出增区间;第二问,由于当时函数有极值,所以是的根,代入得出的值,代入中得到具体解析式,可以看出的对称中心,而到图像是经过平移得到的,所以经过平移,得到对称中心坐标,假设存在,试试看能不能求出来,对求导,得到的两个根分别为1和,通过讨论两根的大小,出现3种情况在每一种情况下,讨论单调性,最后总结出符合题意的的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当,,
设,即,
所以或,
单调增区间是.
(Ⅱ)当时,函数有极值,
所以,且,即,
所以,
所以的图像可由的图像向下平移16个单位长度得到,
而的图像关于对称,
所以函数的图像的对称中心坐标为.
(Ⅲ)假设存在使在上为减函数,
,
(1)当时,,在定义域上为增函数,不合题意;
(2)当时,由得:,在上为增函数,则在上也为增函数,也不合题意;
(3)当时,由得:,若,无解,则,
因为在上为减函数,则在上为减函数,在上为减函数,且,则.由,得.
综上所述,符合条件的满足.
考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.函数图像的平移.
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