题目内容

在 $数学公式$ 的展开式中，已知第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的所有有理项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．
注：所涉及的系数均用数字作答．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，解得n=10…
所有项的系数之和为（1-2）¹⁰=1
奇数项的二项式系数之和为2^10-1=512
（2）因为通项： $\text{[math]}$
当5- $\text{[math]}$ 为整数，r可取0，6
展开式是常数项，于是有理项为T₁=x⁵和T₇=13400
（3）设第r+1项系数绝对值最大，则 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，于是r只能为7
所以系数绝对值最大的项为 $\text{[math]}$
分析：（1）利用第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求出n的值，即可通过x=1求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；
（2）通过二项式定理的通项公式，利用x的指数为0，求出展开式中的所有有理项；
（3）通过 $\text{[math]}$ 求展开式中系数绝对值最大的项．
点评：本题是中档题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力．