Question

（1）已知函数f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上为减函数；[

2

，+∞）上为增函数．请你用单调性的定义证明：f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上为减函数；
（2）判定并证明f（x）=x+

2

x

在定义域内的奇偶性；
（3）当x∈（-∞，0）时，根据对称性写出函数f（x）=x+

2

x

的单调区间（只写出区间即可），并求出f（x）在x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

分析：（1）根据定义，设0＜x₁＜x₂＜

2

，通过作差法证明即f（x₁）＞f（x₂），即证明函数为减函数；
（2）根据定义，验证f（-x）=-f（x）成立，即证明函数是奇函数；
（3）利用奇函数的性质得函数在[-2，-1]上的单调区间，根据单调区间求出函数的最大、最小值，可得值域．

解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂＜

2

，
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜

2

，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜2，∴x₁x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

2

）上是减函数．
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（3）根据奇函数的图象关于原点对称可知：
函数f（x）在（-∞，-

2

）上递增；在（-

2

，0）上递减，
∴f（x）在[-2，-

2

]上递增；在[-

2

，-1]上递减；，
∴在[-2，-

2

）上，-3≤f（x）≤f（-

2

）=-2

2

；
在[-

2

，-1]上，-2

2

≥f（x）≥f（-1）=-3；
∴f（x）在x∈[-2，-1]的值域为[-3，-2

2

．

点评：本题考查了用定义法判断与证明函数的奇偶性、单调性，考查利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域或最值，熟练掌握函数的奇偶性与单调性的定义是解答本题的关键．