题目内容

(2011•崇明县二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2+2Sn=3an(n∈N*).数列bn=
1               n=1
an-1
n
        n≥2

(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)若对于任意n∈N*,不等式bn≥(n+1)λ恒成立,求实数λ的最大值;
(3)对于数列{bn}中值为整数的项,按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{cn},记Tn=c1×c3×…×c2n-1,Mn=c2×c4×…×c2n,求
Tn
Mn
的表达式.
分析:(1)由已知中2+2Sn=3an,n∈N*,我们可以得到
an+1
an
=3
,根据等比数列的定义,即可得到数列{an}为等比数列;
(2)由(1)中结论,我们易求出数列{bn}的通项公式,下面分类讨论:①当n=1时,b1≥2λ,②n≥2时,令f(n)=
2×3 n-2
n(n+1)
,利用f(n)=
2×3 n-2
n(n+1)
(n≥2)为递增数列.f(n) min=
1
3
,从而λ的最大值.
(3)根据当n=2k-1(k≥2)时,及当n=2k(k≥1)时,求出cn的解析式,从而得出Tn和Mn,我们通过化简即可求
Tn
Mn
的表达式.
解答:解:(1)a1=2,2+2Sn=3an,2+2S n+1=3a n+1
所以2a n+1=3a n+1-3an
即:
an+1
an
=3
恒成立.
所以,{an}为以2为首项,公比为3的等比数列.
(2)bn=
1               n=1
2×3 n-2
n
       n≥2


①n=1时,b1≥2λ,λ≤
1
2

②n≥2时,
2×3 n-2
n
≥(1+n)λ,λ≤
2×3 n-2
n(n+1)

令f(n)=
2×3 n-2
n(n+1)
,f(n+1)-f(n)=
4×3 n-2(n-1)
n(n+1)(n+2)
≥0(n≥2)
所以,f(n)=
2×3 n-2
n(n+1)
,(n≥2)为递增数列.f(n) min=
1
3

从而λ≤
1
3

由①,②知λ≤
1
3
,所以λ的最大值等于
1
3

(3)c1=1
当n=2k-1(k≥2)时,cn=2×33 k-1-k-1 
当n=2k(k≥1)时,cn=32×3 k-1-k-1
所以Tn=1×2×33 2-1-2-1×…×2×33 n-1-n-1

Mn=1×32×3 2-1-2-1×…×2××32×3 n-1-n-1

所以
Tn
Mn
=
1,n=1
1×2×32×3 2-1-2-1×…×33 n-1-n-1
1××32×3 2-1-2-1×…×32×3 n-1-n-1
,n≥2

所以
Tn
Mn
=
1,n=1
2 n-1
 
3 n-3
2
,n≥2
点评:本题考查的知识点是等比关系的确定,数列的函数特征,数列递推式,数列与不等式的综合.其中(1)的关键是根据等比数列的定义,证得
an+1
an
为定值,但要注意由限制首项不为0.
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