Question

（2011•崇明县二模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2+2S_n=3a_n（n∈N^*）．数列bn=

1               n=1 an-1 n         n≥2

．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）若对于任意n∈N^*，不等式b_n≥（n+1）λ恒成立，求实数λ的最大值；
（3）对于数列{b_n}中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{c_n}，记T_n=c₁×c₃×…×c_2n-1，M_n=c₂×c₄×…×c_2n，求

Tn

Mn

的表达式．

Answer 1

分析：（1）由已知中2+2S_n=3a_n，n∈N^*，我们可以得到

an+1

an

=3，根据等比数列的定义，即可得到数列{a_n}为等比数列；
（2）由（1）中结论，我们易求出数列{b_n}的通项公式，下面分类讨论：①当n=1时，b₁≥2λ，②n≥2时，令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，利用f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

（n≥2）为递增数列．f（n） _min=

1

3

，从而λ的最大值．
（3）根据当n=2k-1（k≥2）时，及当n=2k（k≥1）时，求出c_n的解析式，从而得出Tn和Mn，我们通过化简即可求

Tn

Mn

的表达式．

解答：解：（1）a₁=2，2+2S_n=3a_n，2+2S _n+1=3a _n+1，
所以2a _n+1=3a _n+1-3a_n，
即：

an+1

an

=3恒成立．
所以，{a_n}为以2为首项，公比为3的等比数列．
（2）b_n=

1               n=1 2×3 n-2 n        n≥2

．

①n=1时，b₁≥2λ，λ≤

1

2

②n≥2时，

2×3 n-2

n

≥（1+n）λ，λ≤

2×3 n-2

n(n+1)

令f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，f（n+1）-f（n）=

4×3 n-2(n-1)

n(n+1)(n+2)

≥0（n≥2）
所以，f（n）=

2×3 n-2

n(n+1)

，（n≥2）为递增数列．f（n） _min=

1

3

，
从而λ≤

1

3

由①，②知λ≤

1

3

，所以λ的最大值等于

1

3

．
（3）c₁=1
当n=2k-1（k≥2）时，c_n=2×33 k-1-k-1 
当n=2k（k≥1）时，c_n=32×3 k-1-k-1
所以Tn=1×2×33 2-1-2-1×…×2×33 n-1-n-1

Mn=1×32×3 2-1-2-1×…×2××32×3 n-1-n-1

所以

Tn

Mn

=

1，n=1 1×2×32×3 2-1-2-1×…×33 n-1-n-1 1××32×3 2-1-2-1×…×32×3 n-1-n-1

，n≥2
所以

Tn

Mn

=

1，n=1 2 n-1 3   3 n-3 2

，n≥2

点评：本题考查的知识点是等比关系的确定，数列的函数特征，数列递推式，数列与不等式的综合．其中（1）的关键是根据等比数列的定义，证得

an+1

an

为定值，但要注意由限制首项不为0．