Question

已知,
设.
(Ⅰ)求的表达式；
(Ⅱ)若函数和函数的图象关于原点对称，
（ⅰ）求函数的解析式；
（ⅱ）若函数在区间上是增函数，求实数l的取值范围.

Answer 1

Ⅰ)；（Ⅱ）函数的解析式为= -sin²x+2sinx ；
（Ⅲ）。

解析试题分析：（Ⅰ)
   4分
（Ⅱ）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为
则,  .5分
∵点在函数的图象上
,即
∴函数的解析式为= -sin²x+2sinx      7分
（Ⅲ）
设   9分
则有
当时，(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1   11分
当时，对称轴方程为直线.
ⅰ) 时，，解得
ⅱ)当时，,解得
综上:.
实数l的取值范围为  14分
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数和差倍半公式的应用，二次函数图象和性质。
点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要将函数“化一”，这是常考题型。首先运用“三角公式”进行化简，为进一步解题奠定了基础。（3）小题利用“换元思想”，转化成二次函数在闭区间的单调性研究问题，根据图象对称轴受到的限制，求得实数l的取值范围。