Question

已知椭圆的一个焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F，
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为F₁，问抛物线y²=4x上是否存在一点M，使得M与F₁关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
∴，①
又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，
∴得上交点为，
∴，②
由①代入②得（舍去），
从而，
∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为；
（2）∵倾斜角为45°的直线l过点F，
∴直线l的方程为，
由（1）知椭圆的另一个焦点为，
设与F₁关于直线l对称，
则得，
又M（1，-2）满足y²=4x，
故点M在抛物线上。
所以抛物线y²=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F₁关于直线l对称。